今日は勉強会をやった。
指数法則、までを扱った。
いくつかのことについて、
詳細に扱ったのでそれを掲載したい。
詳細に扱ったのでそれを掲載したい。
ひとつめは、
ふたつめは、
「ロバートソンの方法」についてである。
ロバートソンの方法を、$0.3\dot{1}\dot{8}$の場合について、
等比級数の方法から導出した。
$0.3\dot{1}\dot{8}$は、以下のような一般形で与えられる。
\begin{eqnarray} 0.3\dot{1}\dot{8} = \frac{3}{10} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{10^{2n+1}} \end{eqnarray} さて、いま注目したいのは、この右辺第2項である。
ロバートソンの方法によれば、これは$\frac{1}{10} \cdot \frac{18}{99}$のように書かれるという。
いま、右辺第2項の無限等比級数の和の値を$A$とおく。
すると、
\begin{eqnarray} A & = &\frac{18}{10^3} + &\frac{18}{10^5} + \cdots + \frac{18}{10^{2n+1}} & \\ \frac{A}{10^2} & = & &\frac{18}{10^5} + \cdots + \frac{18}{10^{2n+1}} & + \frac{18}{10^{2(n+1)+1}} \end{eqnarray} とかける。このふたつの式の差をとってやると、
\begin{eqnarray} \left( 1 - \frac{1}{10^2} \right) A = \frac{18}{10^3} - \frac{18}{10^{2(n+1)+1}} \end{eqnarray} ところで、いま、$n$は無限まで飛んでいるのであった。
つまり、右辺第2項は0となる。
これより、
\begin{eqnarray} \frac{99}{100} A = \frac{18}{10^3} \end{eqnarray} とかけ、
\begin{eqnarray} A = \frac{18}{10^3} \frac{100}{99} = \frac{1}{10} \cdot \frac{18}{99} \end{eqnarray} こうして、ロバートソンの方法が再現された。
答え自体は、計算してやれば、$\frac{7}{22}$となる。
おわり。
ロバートソンの方法を、$0.3\dot{1}\dot{8}$の場合について、
等比級数の方法から導出した。
$0.3\dot{1}\dot{8}$は、以下のような一般形で与えられる。
\begin{eqnarray} 0.3\dot{1}\dot{8} = \frac{3}{10} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{10^{2n+1}} \end{eqnarray} さて、いま注目したいのは、この右辺第2項である。
ロバートソンの方法によれば、これは$\frac{1}{10} \cdot \frac{18}{99}$のように書かれるという。
いま、右辺第2項の無限等比級数の和の値を$A$とおく。
すると、
\begin{eqnarray} A & = &\frac{18}{10^3} + &\frac{18}{10^5} + \cdots + \frac{18}{10^{2n+1}} & \\ \frac{A}{10^2} & = & &\frac{18}{10^5} + \cdots + \frac{18}{10^{2n+1}} & + \frac{18}{10^{2(n+1)+1}} \end{eqnarray} とかける。このふたつの式の差をとってやると、
\begin{eqnarray} \left( 1 - \frac{1}{10^2} \right) A = \frac{18}{10^3} - \frac{18}{10^{2(n+1)+1}} \end{eqnarray} ところで、いま、$n$は無限まで飛んでいるのであった。
つまり、右辺第2項は0となる。
これより、
\begin{eqnarray} \frac{99}{100} A = \frac{18}{10^3} \end{eqnarray} とかけ、
\begin{eqnarray} A = \frac{18}{10^3} \frac{100}{99} = \frac{1}{10} \cdot \frac{18}{99} \end{eqnarray} こうして、ロバートソンの方法が再現された。
答え自体は、計算してやれば、$\frac{7}{22}$となる。
おわり。
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