「オイラー」勉強ノート0003

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1.パスカルの三角形

1.2 二項展開とパスカルの三角形

1.2.1 計算の法則

[項・係数・単項式/多項式（整式）・商・有理式（分数式）]

加法・乗法に対して、
交換法則・結合法則・分配法則
が成り立つ。

・指数
以下を指数法則という。

$a^m a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $(ab)^n = a^n b^n$
（本当はもうちょっと一般的な書き方もあるとは思うが、今はこれでよい）
$a^0 = 1$, $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$だよ！

・二項展開
$(a+b)^n$の展開を二項展開という。
そこに出現する係数を二項係数という。
二項係数はパスカルの三角形を描く。

・階乗
自然数の階乗を以下のように約束する。
$1! = 1$, $2! = 1 \times 2$, $n! = 1\times 2 \times \cdots \times n$
（本書では0の階乗も$0! = 1$として定義している。「自然数の階乗」と言っており、この本での自然数は0を含まないが、そこはご愛嬌。）

偶数だけ、奇数だけの掛け算は階乗記号を2つ書くことであらわす。

\begin{eqnarray}
(2n)!! &=& 2 \times 4 \times \cdots \times 2n \nonumber \\
&=& 2^n n! \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
(2n -1)!! \times (2n)!! &=& [1 \times 3 \times \cdots \times (2n-1) ] \times (2 \times 4 \times \cdots \times 2n) \nonumber \\
&=& 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \cdots \times (2n-1) \times n \nonumber \\
&=& 2n! \nonumber
\end{eqnarray}
以上より、
\begin{eqnarray}
(2n -1)!! = \frac{2n!}{2^n n!} \nonumber
\end{eqnarray}

1.2.2 二項定理

二項係数を、以下のように書くことができる。
\begin{eqnarray} {}_n \text{C} _r \equiv \frac{n!}{r! (n-r)!} \nonumber \end{eqnarray}
または
\begin{eqnarray} \binom{n}{r} \equiv \frac{n!}{r! (n-r)!} \nonumber \end{eqnarray} ここで、$r$はダミー変数である。
これは$n$個から$r$個とる組合せである。CはCombinationの頭文字である。

[添字・代入・総和の記号]

二項展開を表す規則、二項定理を以下のように表す。
\begin{eqnarray} (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n\text{C}_k a^{n-k} b^{k} \nonumber \end{eqnarray}

パスカルの三角形の構造は、 以下のような二項係数の相互関係を表す式で表される
 \begin{eqnarray} _n\text{C}_r + {}_n\text{C}_{k+1} = {}_{n+1}\text{C}_{k+1} \nonumber \end{eqnarray}

定義に従えば計算できるが、最後だけ以下のような工夫が必要である。
\begin{eqnarray} \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!} = \frac{(n+1)!}{(k+1)![(n+1)-(k+1)]!} \nonumber \end{eqnarray}