偏微分

偏微分とは、
複数の変数のうち、1変数のみを変化させ、残りを固定して微分することである。

$x, y$の2変数の関数$f(x, y)$を考える。
$x, y$がそれぞれ勝手に微小量$\Delta x, \Delta y$だけ変化すると、それに合わせて$f(x, y)$も変化する。
その変化量$\Delta f$は次のようになる。

\begin{eqnarray}
\Delta f &=& f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)\\
&=& f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y + \Delta y) + f(x, y + \Delta y) - f(x, y)\\
&=& \frac{ f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y + \Delta y)}{\Delta x} \Delta x \nonumber \\&&+ \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y} \Delta y
\end{eqnarray}
ここで、$\Delta x, \Delta y$を無限小に近づけると、全微分の式が得られる。
\begin{eqnarray}
df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy
\end{eqnarray}
$\frac{\partial f}{\partial x}$は偏導関数、偏微分係数などと呼ばれるもので、以下のような定義である。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial f}{\partial x} \equiv \lim_{\Delta x \to 0}  \frac{ f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y + \Delta y)}{\Delta x}
\end{eqnarray}

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$\frac{f}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}$?
独立変数が1つならば成立。
$x, y$または$f$が変数$t$に依存する場合、$t$の時間変化に対する$f$の変化量は、
$$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial t} dt$$ $t$が変化することで、$f$は$t$からの直接的な影響を受ける。同時に$x, y$も変化するので、
$$\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{df}{dt} + \frac{\partial f}{\partial t}$$ となり、$\frac{df}{dt}$と$\frac{\partial f}{\partial t}$は同一ではない。