（基礎だけど）Maclaurin/Taylor展開について確認する。

以下の議論は、田崎先生のテキストを参考にした。

微分の定義式を思い出す。
$$\begin{eqnarray} \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x}  = f'(x) \end{eqnarray}$$

$x$を微小量とすると、上の式は0付近で以下のようになる。ただし$o$はランダウのo。
$$\begin{eqnarray} f(0+x) = f(0) + f'(0)x + o(x^2) \end{eqnarray}$$

さて、仮定として
$$\begin{eqnarray} f(x)  = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + \cdots \end{eqnarray}$$
のように表されるとする。

この式を微分すると、以下のようになる。
$$\begin{eqnarray} f'(x) &=& a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + 4 a_4 x^3 + \cdots \\ f''(x) &=& a_2 + 6a_3 x + 12a_4 x^3 + 20 a_5 x^3 + \cdots \end{eqnarray}$$
ここに、以下の規則が見いだされる。
$$\begin{eqnarray} f^{(n)}(x) = n! a_n + (n+1)! x a_{n+1} + \cdots \end{eqnarray}$$
この式で、$x=0$であるならば、
$$\begin{eqnarray} f^{(n)}(x) = n! a_n \end{eqnarray}$$
となるから、$a_n$は、
$$\begin{eqnarray} a_n = \frac{f^{(n)}(x)}{n!} \end{eqnarray}$$
と表せる。

これを(3)式に代入すると、
$$\begin{eqnarray} f(x) = f(0) + f'(0) x + \frac{f^{(2)}(0)}{2!} x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!} x^3 + \cdots \end{eqnarray}$$
となる。この展開式を、Maclaurin展開という。

Maclaurin展開は、$x=0$の近くでしか成り立たないが、これを一般化することを考えたい。

いま、$g(y) = f(a+y)$と定義する。
$g(y)$のMaclaurin展開を考えよう。
$$\begin{eqnarray} g(x) = g(0) + g'(0) y + \frac{g^{(2)}(0)}{2!} y^2 + \frac{g^{(3)}(0)}{3!} y^3 + \cdots \end{eqnarray}$$
$a + y = x$とかんがえることにすると、$y = x - a$だから、
$$\begin{eqnarray} f(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!} (x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!} (x-a)^3 + \cdots \end{eqnarray}$$
となる。
これはMaclaurin展開の一般的な場合であり、Taylor展開と呼ばれる。