この議論は、日本評論社『ガンマ関数入門』 - E. Artin / 上野健爾訳 の議論をベースにしたメモ書きを清書したものである。
ガンマ関数は、自然数の階乗を一般の数の場合に
意味のある形で一般化する問題である。
つまり、正の整数nに対してn!という値を持ち、
一般の実数に対してその表示を拡張するものである。
それを追っていくと、
\int_{0}^{\infty} e^{-t}t^n dt = n!
という広義積分の表示が得られる。
これは、左辺の整数nを(積分の収束するかぎり)
自然数から任意の実数に換えることによって、
その任意の実数zに対して
z!をこの積分の値として定義できることを示唆する。
ここでは、慣例に従って、正整数nに対して、
(n-1)!を値に持つ関数を導入する。
\begin{eqnarray}
\Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{z-1} dt
\end{eqnarray}
この関数\Gamma (z)をガンマ関数と呼ぶ。
われわれは、この積分が収束するzの値を求めることにする。
上の右辺は、以下のように分割することができる。
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{z-1} dt = \int_{0}^{1} e^{-t} t^{z-1} dt + \int_{1}^{\infty} e^{-t} t^{z-1} dt
\end{eqnarray}
まず、右辺の第一項について考える。
t > 0のとき、e^{-t} < 1より、
被積分関数はt^{z-1}より小さくなる。
つまり、
\begin{eqnarray}
\int_{\varepsilon}^{1} e^{-t}t^{z-1} dt < \int_{\varepsilon}^{1} t^{z-1} dt = \left[ \frac{1}{z} t^z \right]_{\varepsilon}^{1} = \frac{1}{z} - \frac{\varepsilon ^z}{z}
\end{eqnarray}
が成り立つ。したがってz > 0のとき、
\int_{\varepsilon}^{1} e^{-t}t^{z-1} dt は1/zで上から抑えられる。
zを固定し、\varepsilonを小さくしていけば、
この積分の値は単調に増加する。
つまり、
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{1} e^{-t}t^{z-1} dt = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\varepsilon}^{1} e^{-t}t^{z-1} dt
\end{eqnarray}
が存在する。
右辺第二項について考える。
e^tのTaylor展開は以下のようである。
\begin{eqnarray}
e^t = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \cdots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{z^i}{i!}
\end{eqnarray}
t > 0のとき、このすべての項は正であり、
またすべての正整数nに対して
\begin{eqnarray}
e^t > \frac{z^n}{n!},
\end{eqnarray}
つまり、
\begin{eqnarray}
e^{-t} < \frac{n!}{t^n}
\end{eqnarray}
が成立する。
これより、
\begin{eqnarray}
e^{-t}t^{z-1} < \frac{n!}{t^{n+1-z}}
\end{eqnarray}
も言える。
zを固定したまま、n > z+1を選ぶと、
(右辺の積分形がn!\left[ \frac{1}{-n+z} t^{-n+z} \right]_{1}^{u}となり、)
n!/n-zを積分\int_{1}^{u} e^{-t} t^{z-1} dtの上界として選ぶことができる。
uが増大するならばこの積分の値も増大し、
\begin{eqnarray}
\int_{1}^{\infty} e^{-t}t^{z-1} dt = \lim_{u \to \infty} \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{z-1} dt
\end{eqnarray}
も存在することが言える。
よって、(2)式により、(1)式のガンマ関数が正の数zに対して収束することが言える。
ガンマ関数のプリミティブな性質として、
\begin{eqnarray}
\Gamma (z+1) = z\Gamma (z)
\end{eqnarray}
がある。
これは、(1)式のzをz+1に換え、近似の積分を部分積分すればわかる。
つまり、
\begin{eqnarray}
\int_{\varepsilon}^{u} e^{-t}t^{z} dt &=& [-e^{-t}t^z ]_{\varepsilon}^{u} + z \int_{\varepsilon}^{u} e^{-t}t^{z-1} dt \nonumber \\
&=& e^{-\varepsilon}\varepsilon ^z - e^{-u} u^z + z \int_{\varepsilon}^{u} e^{-t}t^{z-1} dt
\end{eqnarray}
であり、結局この右辺の第一項第二項が極限において消えてしまう。
すると、与えられた公式が得られる。
これは、整数nでのn! = n \cdot (n-1)!の一般化である。
2015年4月14日火曜日
フーリエ展開とフーリエ係数
周期2\piの関数f(x)に対して、以下の式を、f(x)のフーリエ級数という。
\begin{eqnarray} f(x) \sim \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos nx + n_n \sin nx) . \end{eqnarray}
このf(x)が適当な条件をみたすとき、右辺の級数は収束し、左辺に一致する。
\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos nx + n_n \sin nx) . \end{eqnarray}
これをフーリエ（級数）展開という。
フーリエ展開・級数はどのような範囲の周期関数にも、
周期関数でなくても拡張可能であるが、いまはそっとしておく。
この式にはふたつの係数a_nとb_nが出てくる。
これをf(x)のフーリエ係数と言い、
\begin{eqnarray} a_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} dx \cos nx f(x) \\ b_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} dx \sin nx f(x) \end{eqnarray}
が定義である。
フーリエ係数は、
1) f(x)がフーリエ展開可能であること、
2) フーリエ級数の項別積分可能性
のふたつを仮定すると、フーリエ展開の式から以下のように導くことができる。
f(x)のフーリエ展開は、
\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos nx + n_n \sin nx) . \end{eqnarray}
両辺に\cos mxを掛け、xで積分する。
\begin{eqnarray} (\mbox{左辺}) &=& \int_{0}^{2\pi} dx \cos mx f(x)\\ (\mbox{右辺}) &=& \frac{1}{2} a_0 \int_{0}^{2\pi} dx \cos mx \cdot 1\nonumber \\ && + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \int_{0}^{2\pi} \cos mx \cos nx + b_n \int_{0}^{2\pi} \cos mx \sin nx \right] \nonumber \\ &=& \pi a_m \end{eqnarray}
よって、
\begin{eqnarray} a_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} dx \cos nx f(x) . \end{eqnarray}
b_mも、\sin mxを掛けて積分すれば、導ける。
\begin{eqnarray} f(x) \sim \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos nx + n_n \sin nx) . \end{eqnarray}
このf(x)が適当な条件をみたすとき、右辺の級数は収束し、左辺に一致する。
\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos nx + n_n \sin nx) . \end{eqnarray}
これをフーリエ（級数）展開という。
フーリエ展開・級数はどのような範囲の周期関数にも、
周期関数でなくても拡張可能であるが、いまはそっとしておく。
この式にはふたつの係数a_nとb_nが出てくる。
これをf(x)のフーリエ係数と言い、
\begin{eqnarray} a_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} dx \cos nx f(x) \\ b_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} dx \sin nx f(x) \end{eqnarray}
が定義である。
フーリエ係数は、
1) f(x)がフーリエ展開可能であること、
2) フーリエ級数の項別積分可能性
のふたつを仮定すると、フーリエ展開の式から以下のように導くことができる。
f(x)のフーリエ展開は、
\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos nx + n_n \sin nx) . \end{eqnarray}
両辺に\cos mxを掛け、xで積分する。
\begin{eqnarray} (\mbox{左辺}) &=& \int_{0}^{2\pi} dx \cos mx f(x)\\ (\mbox{右辺}) &=& \frac{1}{2} a_0 \int_{0}^{2\pi} dx \cos mx \cdot 1\nonumber \\ && + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \int_{0}^{2\pi} \cos mx \cos nx + b_n \int_{0}^{2\pi} \cos mx \sin nx \right] \nonumber \\ &=& \pi a_m \end{eqnarray}
よって、
\begin{eqnarray} a_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} dx \cos nx f(x) . \end{eqnarray}
b_mも、\sin mxを掛けて積分すれば、導ける。
直交するということについて
周期2 \piの関数ふたつf(x), g(x)がある。
これに対し、
\begin{eqnarray} (f, g) \equiv \int_{0}^{2\pi} dx f(x) g(x) \end{eqnarray}
を関数f, gの内積という。
(f, g) = 0のとき、f(x)とg(x)は「直交する」という。
これに対し、
\begin{eqnarray} (f, g) \equiv \int_{0}^{2\pi} dx f(x) g(x) \end{eqnarray}
を関数f, gの内積という。
(f, g) = 0のとき、f(x)とg(x)は「直交する」という。
2015年4月13日月曜日
偏微分
偏微分とは、
複数の変数のうち、1変数のみを変化させ、残りを固定して微分することである。
x, yの2変数の関数f(x, y)を考える。
x, yがそれぞれ勝手に微小量\Delta x, \Delta yだけ変化すると、それに合わせてf(x, y)も変化する。
その変化量\Delta fは次のようになる。
\begin{eqnarray} \Delta f &=& f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)\\ &=& f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y + \Delta y) + f(x, y + \Delta y) - f(x, y)\\ &=& \frac{ f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y + \Delta y)}{\Delta x} \Delta x \nonumber \\&&+ \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y} \Delta y \end{eqnarray}
ここで、\Delta x, \Delta yを無限小に近づけると、全微分の式が得られる。
\begin{eqnarray} df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \end{eqnarray}
\frac{\partial f}{\partial x}は偏導関数、偏微分係数などと呼ばれるもので、以下のような定義である。
\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x} \equiv \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y + \Delta y)}{\Delta x} \end{eqnarray}
\frac{f}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}?
独立変数が1つならば成立。
x, yまたはfが変数tに依存する場合、tの時間変化に対するfの変化量は、
df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial t} dt tが変化することで、fはtからの直接的な影響を受ける。同時にx, yも変化するので、
\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{df}{dt} + \frac{\partial f}{\partial t} となり、\frac{df}{dt}と\frac{\partial f}{\partial t}は同一ではない。
複数の変数のうち、1変数のみを変化させ、残りを固定して微分することである。
x, yの2変数の関数f(x, y)を考える。
x, yがそれぞれ勝手に微小量\Delta x, \Delta yだけ変化すると、それに合わせてf(x, y)も変化する。
その変化量\Delta fは次のようになる。
\begin{eqnarray} \Delta f &=& f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)\\ &=& f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y + \Delta y) + f(x, y + \Delta y) - f(x, y)\\ &=& \frac{ f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y + \Delta y)}{\Delta x} \Delta x \nonumber \\&&+ \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y} \Delta y \end{eqnarray}
ここで、\Delta x, \Delta yを無限小に近づけると、全微分の式が得られる。
\begin{eqnarray} df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \end{eqnarray}
\frac{\partial f}{\partial x}は偏導関数、偏微分係数などと呼ばれるもので、以下のような定義である。
\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x} \equiv \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y + \Delta y)}{\Delta x} \end{eqnarray}
\frac{f}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}?
独立変数が1つならば成立。
x, yまたはfが変数tに依存する場合、tの時間変化に対するfの変化量は、
df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial t} dt tが変化することで、fはtからの直接的な影響を受ける。同時にx, yも変化するので、
\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{df}{dt} + \frac{\partial f}{\partial t} となり、\frac{df}{dt}と\frac{\partial f}{\partial t}は同一ではない。
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