ガンマ関数はじめの論理

この議論は、日本評論社『ガンマ関数入門』 - E. Artin / 上野健爾訳 の議論をベースにしたメモ書きを清書したものである。


ガンマ関数は、自然数の階乗を一般の数の場合に
意味のある形で一般化する問題である。
つまり、正の整数$n$に対して$n!$という値を持ち、
一般の実数に対してその表示を拡張するものである。
それを追っていくと、
$$ \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^n dt = n!$$
という広義積分の表示が得られる。
これは、左辺の整数$n$を(積分の収束するかぎり)
自然数から任意の実数に換えることによって、
その任意の実数$z$に対して
$z!$をこの積分の値として定義できることを示唆する。

ここでは、慣例に従って、正整数$n$に対して、
$(n-1)!$を値に持つ関数を導入する。
\begin{eqnarray}
\Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{z-1} dt
\end{eqnarray}
この関数$\Gamma (z)$をガンマ関数と呼ぶ。

われわれは、この積分が収束する$z$の値を求めることにする。
上の右辺は、以下のように分割することができる。
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{z-1} dt = \int_{0}^{1} e^{-t} t^{z-1} dt + \int_{1}^{\infty} e^{-t} t^{z-1} dt
\end{eqnarray}

まず、右辺の第一項について考える。
$t > 0$のとき、$e^{-t} < 1$より、
被積分関数は$t^{z-1}$より小さくなる。
つまり、
\begin{eqnarray}
\int_{\varepsilon}^{1} e^{-t}t^{z-1} dt < \int_{\varepsilon}^{1} t^{z-1} dt = \left[ \frac{1}{z} t^z \right]_{\varepsilon}^{1} = \frac{1}{z} - \frac{\varepsilon ^z}{z}
\end{eqnarray}
が成り立つ。したがって$z > 0$のとき、
$\int_{\varepsilon}^{1} e^{-t}t^{z-1} dt$ は$1/z$で上から抑えられる。
$z$を固定し、$\varepsilon$を小さくしていけば、
この積分の値は単調に増加する。
つまり、
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{1} e^{-t}t^{z-1} dt = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\varepsilon}^{1} e^{-t}t^{z-1} dt
\end{eqnarray}
が存在する。

右辺第二項について考える。
$e^t$のTaylor展開は以下のようである。
\begin{eqnarray}
e^t = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \cdots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{z^i}{i!}
\end{eqnarray}
$t > 0$のとき、このすべての項は正であり、
またすべての正整数$n$に対して
\begin{eqnarray}
e^t > \frac{z^n}{n!},
\end{eqnarray}
つまり、
\begin{eqnarray}
e^{-t} < \frac{n!}{t^n}
\end{eqnarray}
が成立する。
これより、
\begin{eqnarray}
e^{-t}t^{z-1} < \frac{n!}{t^{n+1-z}}
\end{eqnarray}
も言える。
$z$を固定したまま、$n > z+1$を選ぶと、
(右辺の積分形が$$n!\left[ \frac{1}{-n+z} t^{-n+z} \right]_{1}^{u}$$となり、)
$n!/n-z$を積分$$\int_{1}^{u} e^{-t} t^{z-1} dt$$の上界として選ぶことができる。
$u$が増大するならばこの積分の値も増大し、
\begin{eqnarray}
\int_{1}^{\infty} e^{-t}t^{z-1} dt = \lim_{u \to \infty} \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{z-1} dt
\end{eqnarray}
も存在することが言える。

よって、(2)式により、(1)式のガンマ関数が正の数$z$に対して収束することが言える。

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ガンマ関数のプリミティブな性質として、
\begin{eqnarray}
\Gamma (z+1) = z\Gamma (z)
\end{eqnarray}
がある。
これは、(1)式の$z$を$z+1$に換え、近似の積分を部分積分すればわかる。
つまり、
\begin{eqnarray}
\int_{\varepsilon}^{u} e^{-t}t^{z} dt &=& [-e^{-t}t^z ]_{\varepsilon}^{u}  + z \int_{\varepsilon}^{u} e^{-t}t^{z-1} dt \nonumber \\
&=& e^{-\varepsilon}\varepsilon ^z - e^{-u} u^z +  z \int_{\varepsilon}^{u} e^{-t}t^{z-1} dt
\end{eqnarray}
であり、結局この右辺の第一項第二項が極限において消えてしまう。
すると、与えられた公式が得られる。

これは、整数$n$での$n! = n \cdot (n-1)!$の一般化である。

フーリエ展開とフーリエ係数

周期$2\pi$の関数$f(x)$に対して、以下の式を、$f(x)$のフーリエ級数という。
\begin{eqnarray}
f(x) \sim \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos nx + n_n \sin nx) .
\end{eqnarray}

この$f(x)$が適当な条件をみたすとき、右辺の級数は収束し、左辺に一致する。
\begin{eqnarray}
f(x) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos nx + n_n \sin nx) .
\end{eqnarray}
これをフーリエ（級数）展開という。

フーリエ展開・級数はどのような範囲の周期関数にも、
周期関数でなくても拡張可能であるが、いまはそっとしておく。


この式にはふたつの係数$a_n$と$b_n$が出てくる。
これを$f(x)$のフーリエ係数と言い、
\begin{eqnarray}
a_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} dx \cos nx f(x) \\
b_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} dx \sin nx f(x)
\end{eqnarray}
が定義である。

フーリエ係数は、
1) $f(x)$がフーリエ展開可能であること、
2) フーリエ級数の項別積分可能性
のふたつを仮定すると、フーリエ展開の式から以下のように導くことができる。

$f(x)$のフーリエ展開は、
\begin{eqnarray}
f(x) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos nx + n_n \sin nx) .
\end{eqnarray}
両辺に$\cos mx$を掛け、$x$で積分する。
\begin{eqnarray}
(\mbox{左辺}) &=& \int_{0}^{2\pi} dx \cos mx f(x)\\
(\mbox{右辺}) &=& \frac{1}{2} a_0 \int_{0}^{2\pi} dx \cos mx \cdot 1\nonumber \\
&& + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \int_{0}^{2\pi} \cos mx \cos nx + b_n \int_{0}^{2\pi} \cos mx \sin nx \right] \nonumber \\
&=& \pi a_m
\end{eqnarray}
よって、
\begin{eqnarray}
a_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} dx \cos nx f(x) .
\end{eqnarray}

$b_m$も、$\sin mx$を掛けて積分すれば、導ける。

直交するということについて

周期$2 \pi$の関数ふたつ$f(x), g(x)$がある。
これに対し、
\begin{eqnarray}
(f, g) \equiv \int_{0}^{2\pi} dx f(x) g(x)
\end{eqnarray}
を関数$f, g$の内積という。
$(f, g) = 0$のとき、$f(x)$と$g(x)$は「直交する」という。

偏微分

偏微分とは、
複数の変数のうち、1変数のみを変化させ、残りを固定して微分することである。

$x, y$の2変数の関数$f(x, y)$を考える。
$x, y$がそれぞれ勝手に微小量$\Delta x, \Delta y$だけ変化すると、それに合わせて$f(x, y)$も変化する。
その変化量$\Delta f$は次のようになる。

\begin{eqnarray}
\Delta f &=& f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)\\
&=& f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y + \Delta y) + f(x, y + \Delta y) - f(x, y)\\
&=& \frac{ f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y + \Delta y)}{\Delta x} \Delta x \nonumber \\&&+ \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y} \Delta y
\end{eqnarray}
ここで、$\Delta x, \Delta y$を無限小に近づけると、全微分の式が得られる。
\begin{eqnarray}
df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy
\end{eqnarray}
$\frac{\partial f}{\partial x}$は偏導関数、偏微分係数などと呼ばれるもので、以下のような定義である。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial f}{\partial x} \equiv \lim_{\Delta x \to 0}  \frac{ f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y + \Delta y)}{\Delta x}
\end{eqnarray}

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$\frac{f}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}$?
独立変数が1つならば成立。
$x, y$または$f$が変数$t$に依存する場合、$t$の時間変化に対する$f$の変化量は、
$$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial t} dt$$ $t$が変化することで、$f$は$t$からの直接的な影響を受ける。同時に$x, y$も変化するので、
$$\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{df}{dt} + \frac{\partial f}{\partial t}$$ となり、$\frac{df}{dt}$と$\frac{\partial f}{\partial t}$は同一ではない。