簡単な問題:太田 電磁気学の基礎 pp.31:メモ

太田 電磁気学の基礎 pp.31

以下の不定積分を示す。
$$\begin{eqnarray} \int{\frac{dt}{(\rho ^2 + t^2 )^{3/2}}} = \frac{t}{\rho ^2 \sqrt{\rho ^2 + t ^2 }} \end{eqnarray}$$

$t= \rho \tan \theta$ とおくと、
$dt = \frac{\rho}{\cos \theta} d \theta$,
$\theta = \arctan \left( \frac{t}{\rho} \right)$
$t$と$dt$を(1)式の左辺に代入して計算する。

$$\begin{eqnarray} &&\int{\frac{dt}{(\rho ^2 + t^2 )^{3/2}}} \nonumber \\ =&& \int{\frac{\rho}{\cos ^2 \theta ( \rho ^2 + \rho ^2 \tan ^2 \theta )^{3/2}}d \theta } \\ =&& \int{\frac{\rho}{\cos ^2 \theta} \frac{1}{\rho ^3} \frac{1}{(1 + tan ^2 \theta)^{3/2}} d \theta} \\ =&& \int{\frac{1}{\rho ^2 \cos ^2 \theta}  \cos ^3 \theta d \theta} \\ =&& \int{\frac{\cos \theta}{\rho ^2} d \theta} \\ =&& \frac{\sin \theta}{\rho ^2} \end{eqnarray}$$
ただし、$1 + \tan ^2 \theta = \frac{1}{\cos ^2 \theta}$を用いた。

ここで、$\theta$をもどしてやると、
$$\begin{eqnarray} \sin \theta &=& \sin \left(\arctan \left(\frac{t}{\rho}\right) \right) \\ &=& \frac{t}{\rho} \cos \left( \arctan \left( \frac{t}{\rho} \right) \right) \\ &=& \frac{t}{\rho} \sqrt{\cos ^2 \alpha} \\ &=& \frac{t}{\rho} \sqrt{\frac{1}{1/\cos ^2 \alpha}} \\ &=& \frac{t}{\rho} \sqrt{1 / (1 + \tan ^2 \alpha)} \\ &=& \frac{t}{\rho} \sqrt{\frac{1}{1+(\frac{t}{\rho})^2}} \\ &=& \frac{t}{\rho^2 + t^2} \end{eqnarray}$$
となる。ただし、$\sin x = \tan x \cos x$, $\frac{1}{\cos ^2 x} = 1 + \tan ^2 x$を用いた。
また、$\alpha = \arctan (\frac{t}{\rho})$とおいた。

よって、(1)式
$$\begin{eqnarray} \int{\frac{dt}{(\rho ^2 + t^2 )^{3/2}}} = \frac{\sin \theta}{\rho ^2} = \frac{t}{\rho ^2 \sqrt{\rho ^2 + t ^2 }} \nonumber \end{eqnarray}$$
が示された。