（基礎だけど）Maclaurin/Taylor展開について確認する。

以下の議論は、田崎先生のテキストを参考にした。

微分の定義式を思い出す。
$$\begin{eqnarray} \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x}  = f'(x) \end{eqnarray}$$

$x$を微小量とすると、上の式は0付近で以下のようになる。ただし$o$はランダウのo。
$$\begin{eqnarray} f(0+x) = f(0) + f'(0)x + o(x^2) \end{eqnarray}$$

さて、仮定として
$$\begin{eqnarray} f(x)  = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + \cdots \end{eqnarray}$$
のように表されるとする。

この式を微分すると、以下のようになる。
$$\begin{eqnarray} f'(x) &=& a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + 4 a_4 x^3 + \cdots \\ f''(x) &=& a_2 + 6a_3 x + 12a_4 x^3 + 20 a_5 x^3 + \cdots \end{eqnarray}$$
ここに、以下の規則が見いだされる。
$$\begin{eqnarray} f^{(n)}(x) = n! a_n + (n+1)! x a_{n+1} + \cdots \end{eqnarray}$$
この式で、$x=0$であるならば、
$$\begin{eqnarray} f^{(n)}(x) = n! a_n \end{eqnarray}$$
となるから、$a_n$は、
$$\begin{eqnarray} a_n = \frac{f^{(n)}(x)}{n!} \end{eqnarray}$$
と表せる。

これを(3)式に代入すると、
$$\begin{eqnarray} f(x) = f(0) + f'(0) x + \frac{f^{(2)}(0)}{2!} x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!} x^3 + \cdots \end{eqnarray}$$
となる。この展開式を、Maclaurin展開という。

Maclaurin展開は、$x=0$の近くでしか成り立たないが、これを一般化することを考えたい。

いま、$g(y) = f(a+y)$と定義する。
$g(y)$のMaclaurin展開を考えよう。
$$\begin{eqnarray} g(x) = g(0) + g'(0) y + \frac{g^{(2)}(0)}{2!} y^2 + \frac{g^{(3)}(0)}{3!} y^3 + \cdots \end{eqnarray}$$
$a + y = x$とかんがえることにすると、$y = x - a$だから、
$$\begin{eqnarray} f(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!} (x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!} (x-a)^3 + \cdots \end{eqnarray}$$
となる。
これはMaclaurin展開の一般的な場合であり、Taylor展開と呼ばれる。

簡単な問題:太田 電磁気学の基礎 pp.31:メモ

太田 電磁気学の基礎 pp.31

以下の不定積分を示す。
$$\begin{eqnarray} \int{\frac{dt}{(\rho ^2 + t^2 )^{3/2}}} = \frac{t}{\rho ^2 \sqrt{\rho ^2 + t ^2 }} \end{eqnarray}$$

$t= \rho \tan \theta$ とおくと、
$dt = \frac{\rho}{\cos \theta} d \theta$,
$\theta = \arctan \left( \frac{t}{\rho} \right)$
$t$と$dt$を(1)式の左辺に代入して計算する。

$$\begin{eqnarray} &&\int{\frac{dt}{(\rho ^2 + t^2 )^{3/2}}} \nonumber \\ =&& \int{\frac{\rho}{\cos ^2 \theta ( \rho ^2 + \rho ^2 \tan ^2 \theta )^{3/2}}d \theta } \\ =&& \int{\frac{\rho}{\cos ^2 \theta} \frac{1}{\rho ^3} \frac{1}{(1 + tan ^2 \theta)^{3/2}} d \theta} \\ =&& \int{\frac{1}{\rho ^2 \cos ^2 \theta}  \cos ^3 \theta d \theta} \\ =&& \int{\frac{\cos \theta}{\rho ^2} d \theta} \\ =&& \frac{\sin \theta}{\rho ^2} \end{eqnarray}$$
ただし、$1 + \tan ^2 \theta = \frac{1}{\cos ^2 \theta}$を用いた。

ここで、$\theta$をもどしてやると、
$$\begin{eqnarray} \sin \theta &=& \sin \left(\arctan \left(\frac{t}{\rho}\right) \right) \\ &=& \frac{t}{\rho} \cos \left( \arctan \left( \frac{t}{\rho} \right) \right) \\ &=& \frac{t}{\rho} \sqrt{\cos ^2 \alpha} \\ &=& \frac{t}{\rho} \sqrt{\frac{1}{1/\cos ^2 \alpha}} \\ &=& \frac{t}{\rho} \sqrt{1 / (1 + \tan ^2 \alpha)} \\ &=& \frac{t}{\rho} \sqrt{\frac{1}{1+(\frac{t}{\rho})^2}} \\ &=& \frac{t}{\rho^2 + t^2} \end{eqnarray}$$
となる。ただし、$\sin x = \tan x \cos x$, $\frac{1}{\cos ^2 x} = 1 + \tan ^2 x$を用いた。
また、$\alpha = \arctan (\frac{t}{\rho})$とおいた。

よって、(1)式
$$\begin{eqnarray} \int{\frac{dt}{(\rho ^2 + t^2 )^{3/2}}} = \frac{\sin \theta}{\rho ^2} = \frac{t}{\rho ^2 \sqrt{\rho ^2 + t ^2 }} \nonumber \end{eqnarray}$$
が示された。