「オイラー」勉強ノート0005

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久しぶりに勉強会をやった。

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前回までのあらすじを、新しく入ったメンバーに話した。

その後、三角不等式についての議論になったので、
これについて書くことにする。

前回2回はダメだったので、3度目の正直である。
$$\begin{eqnarray} -|a| \leq a \leq |a|, -|b| \leq b \leq |b| \end{eqnarray}$$
の二つの式を考える。これを辺々足すと、
$$\begin{eqnarray} -(|a| + |b|) \leq a + b \leq |a| + |b| \end{eqnarray}$$
前半と後半に分けて書き直すと、
$$\begin{eqnarray} |a| + |b| &\geq& -(a + b),\\ |a| + |b| &\geq& (a + b) \end{eqnarray}$$
が常に成立する。
ところで、定義より、下の式のどちらかも、常に成立する。
$$\begin{eqnarray} |a + b| &=& (a + b), \\ |a + b| &=& -(a + b) \end{eqnarray}$$
上は$a+b \geq 0$において成立し、下は$a + b <0$のとき成立する。
これは、式3, 4どちらか式の右辺と$|a+b|$が等しいと主張するもので、$|a+b|$は必ず$|a| + |b|$によって頭を抑えられている。
つまり、常に
$$\begin{eqnarray} |a| + |b| \leq |a + b| \end{eqnarray}$$
なのである。

この式を、三角不等式という。

ところで、これはベクトルに対して適用することができる。
二つのベクトルを考えたとき、この和はかならず、それぞれのベクトルの大きさの和によって形成される円を超えることがないのである。

ところで、辺々を足すという操作は、不等号が変わることがないので許容されるが、
辺々を引くという操作は、不等号が変わる恐れがあり、許容されることはない。

今日のところはこれで終わり。
眠いですし。

「オイラー」勉強ノート0004

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今日は勉強会をやった。

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指数法則、までを扱った。

いくつかのことについて、
詳細に扱ったのでそれを掲載したい。

ひとつめは、

「三角不等式」について。

-ここに掲載された内容には誤りがあったので、後の記述に譲ることにする。-

ふたつめは、

「ロバートソンの方法」についてである。
ロバートソンの方法を、$0.3\dot{1}\dot{8}$の場合について、
等比級数の方法から導出した。
$0.3\dot{1}\dot{8}$は、以下のような一般形で与えられる。
$$\begin{eqnarray} 0.3\dot{1}\dot{8} = \frac{3}{10} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{10^{2n+1}} \end{eqnarray}$$ さて、いま注目したいのは、この右辺第2項である。
ロバートソンの方法によれば、これは$\frac{1}{10} \cdot \frac{18}{99}$のように書かれるという。
いま、右辺第2項の無限等比級数の和の値を$A$とおく。
すると、
$$\begin{eqnarray} A & = &\frac{18}{10^3} + &\frac{18}{10^5} + \cdots + \frac{18}{10^{2n+1}} & \\ \frac{A}{10^2} & = & &\frac{18}{10^5} + \cdots + \frac{18}{10^{2n+1}} & + \frac{18}{10^{2(n+1)+1}} \end{eqnarray}$$ とかける。このふたつの式の差をとってやると、
$$\begin{eqnarray} \left( 1 - \frac{1}{10^2} \right) A = \frac{18}{10^3} - \frac{18}{10^{2(n+1)+1}} \end{eqnarray}$$ ところで、いま、$n$は無限まで飛んでいるのであった。
つまり、右辺第2項は0となる。
これより、
$$\begin{eqnarray} \frac{99}{100} A = \frac{18}{10^3} \end{eqnarray}$$ とかけ、
$$\begin{eqnarray} A = \frac{18}{10^3} \frac{100}{99} = \frac{1}{10} \cdot \frac{18}{99} \end{eqnarray}$$ こうして、ロバートソンの方法が再現された。
答え自体は、計算してやれば、$\frac{7}{22}$となる。

おわり。

「オイラー」勉強ノート0003

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1.パスカルの三角形

1.2 二項展開とパスカルの三角形

1.2.1 計算の法則

[項・係数・単項式/多項式（整式）・商・有理式（分数式）]

加法・乗法に対して、
交換法則・結合法則・分配法則
が成り立つ。

・指数
以下を指数法則という。

$a^m a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $(ab)^n = a^n b^n$
（本当はもうちょっと一般的な書き方もあるとは思うが、今はこれでよい）
$a^0 = 1$, $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$だよ！

・二項展開
$(a+b)^n$の展開を二項展開という。
そこに出現する係数を二項係数という。
二項係数はパスカルの三角形を描く。

・階乗
自然数の階乗を以下のように約束する。
$1! = 1$, $2! = 1 \times 2$, $n! = 1\times 2 \times \cdots \times n$
（本書では0の階乗も$0! = 1$として定義している。「自然数の階乗」と言っており、この本での自然数は0を含まないが、そこはご愛嬌。）

偶数だけ、奇数だけの掛け算は階乗記号を2つ書くことであらわす。

$$\begin{eqnarray} (2n)!! &=& 2 \times 4 \times \cdots \times 2n \nonumber \\ &=& 2^n n! \nonumber \end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray} (2n -1)!! \times (2n)!! &=& [1 \times 3 \times \cdots \times (2n-1) ] \times (2 \times 4 \times \cdots \times 2n) \nonumber \\ &=& 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \cdots \times (2n-1) \times n \nonumber \\ &=& 2n! \nonumber \end{eqnarray}$$
以上より、
$$\begin{eqnarray} (2n -1)!! = \frac{2n!}{2^n n!} \nonumber \end{eqnarray}$$

1.2.2 二項定理

二項係数を、以下のように書くことができる。
$$\begin{eqnarray} {}_n \text{C} _r \equiv \frac{n!}{r! (n-r)!} \nonumber \end{eqnarray}$$
または
$$\begin{eqnarray} \binom{n}{r} \equiv \frac{n!}{r! (n-r)!} \nonumber \end{eqnarray}$$ ここで、$r$はダミー変数である。
これは$n$個から$r$個とる組合せである。CはCombinationの頭文字である。

[添字・代入・総和の記号]

二項展開を表す規則、二項定理を以下のように表す。
$$\begin{eqnarray} (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n\text{C}_k a^{n-k} b^{k} \nonumber \end{eqnarray}$$

パスカルの三角形の構造は、 以下のような二項係数の相互関係を表す式で表される
  $$\begin{eqnarray} _n\text{C}_r + {}_n\text{C}_{k+1} = {}_{n+1}\text{C}_{k+1} \nonumber \end{eqnarray}$$

定義に従えば計算できるが、最後だけ以下のような工夫が必要である。
$$\begin{eqnarray} \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!} = \frac{(n+1)!}{(k+1)![(n+1)-(k+1)]!} \nonumber \end{eqnarray}$$

「オイラー」勉強ノート0002

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1.パスカルの三角形

1.1 数の種類

1.1.2 実数

有理数と無理数は、比で表せるかの違いである。

英語では、rational / irrational numberといい、そのままの意味である。

この後、不等号が導入され、大きさの評価ができるようになった。

このあと、記法の整備が行われた。

閉区間は、 $\leq$ で、表記には [ や、●を使う。

開区間は、$<$で、表記には （ や、　○を使う。

また、絶対値を定義した。

さて、三角不等式は以下のように導く。

-三角不等式についての記述には誤りがあった。後の記述に譲る。


この後、
循環小数と実数の連続性を扱った。

循環少数の機械的な分数への直し方のアルゴリズムとして、
ロバートソンの方法が紹介された。
循環小数に対して、9を分母に当ててやればよい、と言う方法で、
これはまた面白い。

「オイラー」勉強ノート0001

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いまさらながら、吉田武著『オイラーの贈物』を読み始める。
勉強ノートをここにつけていくつもりだ。

1.パスカルの三角形

1.1 数の種類

自然数、整数、分数、有理数、無理数、実数、虚数、複素数が列挙され、
それぞれの集合の関係がまとめられている

また、分数において、循環小数、有限小数が紹介されている。

1.1.1 自然数と素数

素数 - 自然数のうち、約数を持たないもの

合成数 - 素数以外の自然数

素因数分解 - 合成数を自然数の積で表すこと

素因数分解には積の順序をのぞいて、一意性がある。

素因数分解の一意性を保持するためには、

素数に1を含んではいけない。

∵)

1を素因数分解の分解につかえるものとして認めてしまうと、

$2 \times 3 = 1 \times 2 \times 3 = 1 \times 1 \times 2 \times 3 = \cdots$

となり、一意性が保持されない。

この後、エラトステネスの篩が紹介される。

$N$までの素数を求めるには、$[ \sqrt N ]$までの素数の自然数倍をとりのぞけばよい。
基礎的なアルゴリズムである。

2355のアニメを紹介する。いつリンク切れするかわからないけれども。

http://blog.livedoor.jp/add20/archives/3308414.html

Please Comment on my Codeというページのエラトステネスの篩シュミレータについても紹介しておく。

ガンマ関数はじめの論理

この議論は、日本評論社『ガンマ関数入門』 - E. Artin / 上野健爾訳 の議論をベースにしたメモ書きを清書したものである。


ガンマ関数は、自然数の階乗を一般の数の場合に
意味のある形で一般化する問題である。
つまり、正の整数$n$に対して$n!$という値を持ち、
一般の実数に対してその表示を拡張するものである。
それを追っていくと、
$$\int_{0}^{\infty} e^{-t}t^n dt = n!$$
という広義積分の表示が得られる。
これは、左辺の整数$n$を(積分の収束するかぎり)
自然数から任意の実数に換えることによって、
その任意の実数$z$に対して
$z!$をこの積分の値として定義できることを示唆する。

ここでは、慣例に従って、正整数$n$に対して、
$(n-1)!$を値に持つ関数を導入する。
$$\begin{eqnarray} \Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{z-1} dt \end{eqnarray}$$
この関数$\Gamma (z)$をガンマ関数と呼ぶ。

われわれは、この積分が収束する$z$の値を求めることにする。
上の右辺は、以下のように分割することができる。
$$\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{z-1} dt = \int_{0}^{1} e^{-t} t^{z-1} dt + \int_{1}^{\infty} e^{-t} t^{z-1} dt \end{eqnarray}$$

まず、右辺の第一項について考える。
$t > 0$のとき、$e^{-t} < 1$より、
被積分関数は$t^{z-1}$より小さくなる。
つまり、
$$\begin{eqnarray} \int_{\varepsilon}^{1} e^{-t}t^{z-1} dt < \int_{\varepsilon}^{1} t^{z-1} dt = \left[ \frac{1}{z} t^z \right]_{\varepsilon}^{1} = \frac{1}{z} - \frac{\varepsilon ^z}{z} \end{eqnarray}$$
が成り立つ。したがって$z > 0$のとき、
$\int_{\varepsilon}^{1} e^{-t}t^{z-1} dt$ は$1/z$で上から抑えられる。
$z$を固定し、$\varepsilon$を小さくしていけば、
この積分の値は単調に増加する。
つまり、
$$\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} e^{-t}t^{z-1} dt = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\varepsilon}^{1} e^{-t}t^{z-1} dt \end{eqnarray}$$
が存在する。

右辺第二項について考える。
$e^t$のTaylor展開は以下のようである。
$$\begin{eqnarray} e^t = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \cdots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{z^i}{i!} \end{eqnarray}$$
$t > 0$のとき、このすべての項は正であり、
またすべての正整数$n$に対して
$$\begin{eqnarray} e^t > \frac{z^n}{n!}, \end{eqnarray}$$
つまり、
$$\begin{eqnarray} e^{-t} < \frac{n!}{t^n} \end{eqnarray}$$
が成立する。
これより、
$$\begin{eqnarray} e^{-t}t^{z-1} < \frac{n!}{t^{n+1-z}} \end{eqnarray}$$
も言える。
$z$を固定したまま、$n > z+1$を選ぶと、
(右辺の積分形が $$n!\left[ \frac{1}{-n+z} t^{-n+z} \right]_{1}^{u}$$ となり、)
$n!/n-z$を積分 $$\int_{1}^{u} e^{-t} t^{z-1} dt$$ の上界として選ぶことができる。
$u$が増大するならばこの積分の値も増大し、
$$\begin{eqnarray} \int_{1}^{\infty} e^{-t}t^{z-1} dt = \lim_{u \to \infty} \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{z-1} dt \end{eqnarray}$$
も存在することが言える。

よって、(2)式により、(1)式のガンマ関数が正の数$z$に対して収束することが言える。

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ガンマ関数のプリミティブな性質として、
$$\begin{eqnarray} \Gamma (z+1) = z\Gamma (z) \end{eqnarray}$$
がある。
これは、(1)式の$z$を$z+1$に換え、近似の積分を部分積分すればわかる。
つまり、
$$\begin{eqnarray} \int_{\varepsilon}^{u} e^{-t}t^{z} dt &=& [-e^{-t}t^z ]_{\varepsilon}^{u}  + z \int_{\varepsilon}^{u} e^{-t}t^{z-1} dt \nonumber \\ &=& e^{-\varepsilon}\varepsilon ^z - e^{-u} u^z +  z \int_{\varepsilon}^{u} e^{-t}t^{z-1} dt \end{eqnarray}$$
であり、結局この右辺の第一項第二項が極限において消えてしまう。
すると、与えられた公式が得られる。

これは、整数$n$での$n! = n \cdot (n-1)!$の一般化である。

フーリエ展開とフーリエ係数

周期$2\pi$の関数$f(x)$に対して、以下の式を、$f(x)$のフーリエ級数という。
$$\begin{eqnarray} f(x) \sim \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos nx + n_n \sin nx) . \end{eqnarray}$$

この$f(x)$が適当な条件をみたすとき、右辺の級数は収束し、左辺に一致する。
$$\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos nx + n_n \sin nx) . \end{eqnarray}$$
これをフーリエ（級数）展開という。

フーリエ展開・級数はどのような範囲の周期関数にも、
周期関数でなくても拡張可能であるが、いまはそっとしておく。


この式にはふたつの係数$a_n$と$b_n$が出てくる。
これを$f(x)$のフーリエ係数と言い、
$$\begin{eqnarray} a_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} dx \cos nx f(x) \\ b_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} dx \sin nx f(x) \end{eqnarray}$$
が定義である。

フーリエ係数は、
1) $f(x)$がフーリエ展開可能であること、
2) フーリエ級数の項別積分可能性
のふたつを仮定すると、フーリエ展開の式から以下のように導くことができる。

$f(x)$のフーリエ展開は、
$$\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos nx + n_n \sin nx) . \end{eqnarray}$$
両辺に$\cos mx$を掛け、$x$で積分する。
$$\begin{eqnarray} (\mbox{左辺}) &=& \int_{0}^{2\pi} dx \cos mx f(x)\\ (\mbox{右辺}) &=& \frac{1}{2} a_0 \int_{0}^{2\pi} dx \cos mx \cdot 1\nonumber \\ && + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \int_{0}^{2\pi} \cos mx \cos nx + b_n \int_{0}^{2\pi} \cos mx \sin nx \right] \nonumber \\ &=& \pi a_m \end{eqnarray}$$
よって、
$$\begin{eqnarray} a_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} dx \cos nx f(x) . \end{eqnarray}$$

$b_m$も、$\sin mx$を掛けて積分すれば、導ける。